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                    お 遊 び 数 学  

    中学生 にも 分かる 3次方程式 の 公 式   np - 1    

                              http://www.newhp.kame3,org/newpage15.html

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     x 3  +  a x 2  +  b x  +  c  =  0  



          

                  f ( x ) = 0       x 1   x 2    x 3


          

               異なる3つ の 解     二 重 解         三 重 解


          


             方程式 の は 4000 年 前 バビロニア で 発 見 されたと い う


         方程式 の  16 世 紀    イタリア   数学者 カルダノ ( フォンタナ )    


               

             カルダノ  と  フオンタナ  の  エピソード

         カルダノ  フオンタナ に 懇 願 し て 三次方程式 の 解 の 公 式 の を

         誰 に も 話 さ な い か ら と 言 つ て 聞 き 出 し ま し た

         ところが  カルダノ  自 分 の 数 学 の 著 書 に 載 せ て しまつた

         従つて 世 の 数 学 者 は 三次方程式 の 解 の 発 見 は カルダノ と 知 る

                                        Credit    Yahoo



         


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           前 書 き


            次方程式 の公 式 の 導 出 の 展 開 式


           展 開 式 の 中 で 分かり にくい と こ ろ      行 間 説 明 加 えました

                     展 開 式 と  対 比 し て 見 る  と 参 考 に なるか と 思 います

           お 遊 び数 学     Welcom to My Homepage  http://www.newhp.kame3.org/


           後 書 き


           参 考 資 料     三 次 方 程 式 の判 別 式 の 意 味 と 使 い 方  カルダノ の 公 式




               

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         前 書 き


         私 ご と で 恐 縮 ですが 。会社 を 定 年 退 職 してから 認 知 症 予 防 のためと 思いまして

              お 遊 び の 数 学  で  暇 つ ぶ し  を しようと 思 い ました


         私 は 小学生 子供 の 頃より、算 数 、数 学 が 好 き でした

         卒業後 、クラス会で温泉一拍旅行 があつた時、女の子 から 三 輪 さん は 数 学 の 天 才 だつたよね

        
   と 冗 談 を 言 われ ました            

          私 が 数 学 だけ 、よく できた こと を 種 あ か し します と

             私 は 、貧 乏 百 姓 の 6 人 兄 弟 の  次 男

          今の子供のよう に 、小 使 い を もらつて マンガ , 雑 誌 を 買える 環 境 ではありませんでした


          兄 が 勉 強 ずきで 、学 校 から 帰つて くると よ く 勉 強 して おりました

          私 は その 周 り で 、ちょろ ~ 遊んで いると よく 数 学 の 問 題 を 教えて くれました

          そして 、この 問 題 は 解 けるか といつて 応 用 問 題 を 出 して く れました

          私 は 、すら ~ と 答 え が 出 せ た よ う で す  兄 の 教 え 方 が う ま かつた た め でしょう

          小 学 校 、新 学 期 なる と 教 科 書 が く ば ら れます

          私 は 、数 学 の 教 科 書 だ け は 殆 ど 勉 強 する 必 要 は ありませんでした

          兄 に 教 え ら れ た  た め  一 年  先 を 走 つ て  お り ま し た

                  時 間 年 月 の  位 相  が ず れ て い た  だ け で す

                      の い う  天 才  で は あ り ま せ ん


 ところで、私 が 3 次 方程式 の 解 の 公 式 に 出 会 つた の は 75 才 の 頃 今 か ら 10 年 以 上 前 です

        パソコン で  Yahoo  Google  Youtube  等 で インターネト サーフィス ( 資 料 検 索 )

       数 学 の 関 数 、方 程 式 等 について 資 料 を 拾 い 集 め て 勉 強 し て おりました
 
          その 中 で 関 連 資 料 と し て 3 次 方 程 式 の 解 の 公 式  が に とまり ました



              次 方 程 式 の 公 式 の 導 出 方 法 は 何 通 り か あ り ま す


                 カ ル ダ ノ の 方 法    ( 実 は  フォンタナ )    

                        Crdit  Yahoo


                 ピ エ ト の 解    三 角 関 数 の 3 倍 角 の 公 式 を 応 用 し た も の

                                 cos 3α = 4 cos3 α - 3 cos α

 
                 ラグランジュ の 方 法


                 円 錐 曲 線 に よ る 作 図


       私 は カ ル ダ ノ の 方 法 が 比 較 的 分 か り 安 そ う な の で これで 勉 強 し ま し た



       実 は ,  私 クローバ-  ビ ラ ( 健 老 リハビリ センター ) に 入 所 中 で す  

        コ ロ ナ 騒 ぎ で 家 族 の 面 会 も 許 さ れ ま せ ん   何 に も 、す る こ と が な い の で


            3 次方程式 公 式 導 出 展 開 式 


    について、中学生 にも 分かる ように やさしく 、説 明 し た 小 冊 子 を 書 い て み る こ と に しました


              3 次方程式 の 公 式 は 高 校 の 数 学 教 科 書 に 載 つ て い な い の で
 
              勉 強 し た こ と が あ る 方  は  殆 ど な い と 思 い ま す  

              展 開 式 の 内 容 は 数 学 と いう よ り マジシャン の マジツク の

              たね あ か し を している よ う に 思 え ま す 


                   挑  戦   し て み て く だ さ い



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           3 次方程式 公 式 導 出展 開 式

 
            x 3 + a x 2 + b x + c = 0     x 1  x 2 x 3 


          展 開 式 は 行 間 説 明 な し に 。羅 列 し ま し た

          どうして そのように 展 開 するのか 、展 開 できるのか 、理 解 、納 得 できない ところが

         あるかと
思いますが 、先ずは 、最 後 まで 読み 下して ください。

          繰 り 返 し 、挑 戦 していると 、そうか 、そういう ことか 、と 気 ず く ことが 、あります

          私 は 、全 貌 を 理 解 納 得 するのに 、3 ケ 月 くらい、かかりました

          気 長 に 、3 ケ 月 も、挑 戦 し続ずけた ので 、A 4  4 ~ 5 頁 ある 展 開 式 を 、

           頭 から しつぽ まで
  丸 暗 記 できて おりました


        以 下   カルダノ  ( 実 は フォンタナ ) の 3 次 方 程 式 の 解 の 公 式 の 展 開 式


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                               S - 1 S は Section  ( 節 ) の 頭文字 

        S - 1      x = y - ( 1/3 ) ・ a と 変 数 変 換 する

                     二 項 定 理  参 照    ( a + b ) 2 = a 2 + 2a b + b2 )
                                   ( a + b ) 3 = a 3 +3 a2 b +3 a b 2 +b3 )

                   x 3  +  a x 2  +  b x  +  c  =  0


      ( ( y - ( 1 / 3 ) a ) 3 + a ( ( y - ( 1 / 3 ) a ) 2 + b ( y - (1 / 3 ) a ) + c  = 0


                     ( y 3 - a .y 2 + ( 1 / 3 ) a 2 . y - ( 1 / 27 ) a 3 )

                       + ( ( a . y 2 - ( 2 / 3 ) a 2 .y + ( 1 / 9 ) a 3 )

                        + ( b y - ( 1 / 3 ) a b )

                         + c  =  0


           y 3  +  ( b - ( 1 / 3 ) a 2 ) y  + (  ( 2 / 27 ) a 3 - ( 1 / 3 ) a b + c ) = 0


                       y 3 + 3 p y + 2 q = 0          


            3 p = b - (1 / 3 ) a 2              p = ( 1 / 3 ) b - '( 1/ 9 ) a 2 

            2 q = (2 / 27 ) a 3 - ( 1 / 3 ) a b + c   q = ( 1 / 27 ) a 3 - ( 1 / 6 ) a b + ( 1/2 ) c


  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

         S - 2

                     y 3  +  3 p y  +  2 q  =  0


                 ( u + v ) 3  +  3 p ( u + v )  + 2 q  = 0


       ( u 3 + 3 u 2 v + 3 u v 2 + v 3 )  +  3 p ( u + v )  +  2 q  =  0

              こ の 行 間 は 展 開 式 が か な り スキップ し て い ま す 

             ( u 3 + v 3 + 2 q )   +   ( u 3 v 3 + p 3 )  =  0

                                             
                        こ こ も  スキップ しています

             ( u 3 + v 3 + 2 q ) = 0        u 3 + v 3  =  - 2 q

                              連 立 方程式

             ( u 3 v 3 + p 3 )   = 0        u 3 . v 3   =  - p3


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         S - 3     u 3  と  v 3    を  とする 2 次 方 程 式

                         z 2 - 2 q z - p 3  =  0


                   z の 2 次方程式 の 解    z 1 = q + √( q 2 + p 3 )       

                                     z 2 = q - √( q 2 + p 3 )


  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


          S - 4    ここから 、 変 数 変 換 逆 戻 り して

                    求 め る 3 次 方 程 式 の  解 に

                    x 1   x 2  x 3   に たどり 着 く


                     u 3 = z 1     u 3 - z 1 = 0


                     v 3 = z 2     v 3 - z 2 = 0


              立 方 完 成 の 式     ( 一 次 方 程 式 ) 3 = ( 常 数 ) 3

                   3 √   ( 一 次 方 程 式 ) 3 = 3 √ ( 常 数 ) 3 


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         S - 5    u 3   と  v 3  3 次 方程式  解  を 求 め る


                  u 1  =  3√z =  3√( q + √( q 2 + p 3 ) )


                  u 2  =  ( ( - 1 + i √3 ) / 2 ) . 3√z 1


                      =    ( ( - 1 + i √3 ) / 2 ) .3√( q + √( q 2 + p 3 ) )


                  u 3  =  ( ( - 1 - i √3 ) / 2 ) . 3√z 1


                       =   ( ( - 1 - i √3 ) / 2 ) .3√( q + √( q 2 + p 3 ) )




                  v 1  =  3√z2  =  3√( q + 3√( q 2 + p 3 ) )


                  v 2  =  ( ( - 1 + i √3) / 2 ) . 3√z 2



                     =    ( ( - 1 + i √3) / 2 ) .3√( q + √( q 2 + p 3 ) )


                  v 3  =  ( ( - 1 - i √3) / 2 ) . 3√z 2


                     =   ( ( - 1 - i √3) / 2 ) .3√( q + √( q 2 + p 3 ) )


  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


         S - 6      y  =  u  +  v       に 戻 る 


              u  +  v   は 前 記  u1 ~ u3  v1 ~ v3  よ り 

               
9 通 り の 組 み 合 わ せ が で き る
.

i
                 u 1 + v 1      u 1 + v 2      u 1 + v 3


                  u 2 + v 1   .   u 2 + v 2      u 2 + v 3


                 u 3 + v 1  ...   u 3 + v 2       u 3 + v 3


  この 9 通 り の 組み合わせ の 中 から y の 3 次方程式 の 解 3 個 を 選 ぶ  y 1  y 2  y 3


                 u + v  と  u . v  は 連 立 方 程 式  で あ る


     従 つ て 。  u + v   で あ る と 同 時 に   u . v = - p  で な け れ ば な ら な い


         u + v    9 通 り の 組 み 合 わ せ  u . v = - p  が 成 立 す る の は


                        y 1  =  u 1 + v 1  =  - p
 
                        y 2  =  u 2 + v 3  =  - p

                        y 3  =  u 3 + v 2  =  - p
 
                y 1  y 2  y 3    の 3 個  が  選 べ ま し た


  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


         S - 7   最 後 に  x = y - ( 1 / 3 ) . a の 変 数 変 換 に 逆 戻 り し て

          3 次 方 程 式 の
      x 1   x 2  x 3   公 式 を 導 出 しま す    

      x1  =  y 1 - ( 1 / 3 ) . a = ( u 1+ v 1 ) - ( 1 / 3 ) .a = ( 3√z 1 + 3√z 2 ) - ( 1 / 3 ) . a

             = ( ( ( 3√( q + √( q 2 + p 3 ) ) + ( ( 3√( q - √( q 2 + p 3 ) ) - (1 / 3).a


         = 3√ ( ( 4 / 27 ) a3 - ( 2 / 3) a b + 2 c ) ) + 3√( ( 4 / 27 ) a 3 - ( 2 / 3) a b + 2 c ) ) 2

                    +  ( ( 1 / 3 ) .b - ( 1 / 9 ) .a 2 ) ) 3


          +  3√ ( ( 4 / 27 ) a3 - ( 2 / 3) a b + 2 c ) ) -( ( 4 / 27 ) a 3 - ( 2 / 3) a b + 2 c ) ) 2

                   +  ( ( 1 / 3 ) .b - ( 1 / 9 ) .a 2 ) ) 3

      x2  =  y 2- ( 1 / 3 ) . a = ( u 2 + v 3 ) - ( 1 / 3 ) .a

           = ( ( - 1 + i √3 ) / 2 ) ). 3√z 1  +  ( ( - 1 - i √3 ) / 2 ).) 3√z 2  -  ( 1 / 3 ,a )

      = ( ( - 1 + i √3 ) / 2 ) ) ( ( 3√( q + √( q 2 + p 3 ) ) + ( ( - 1 - i √3 ) / 2 ) ( 3√( q - √( q 2 + p 3 )

                       -  ( 1 / 3 ,a )

           = ( ( - 1 + i √3 ) / 2 ) ) ( ( 3√( q + √( q 2 + p 3 ) )

             +  ( ( - 1 - i √3 ) / 2 ) ( 3√( q - √( q 2 + p 3 ) -  ( 1 / 3 ,a )

        =  y 3- ( 1 / 3 ) . a = ( u 3 + v 2) - ( 1 / 3 ) .a

           = ( ( - 1 + i √3 ) / 2 ) ). 3√z 1  +  ( ( - 1 - i √3 ) / 2 ).) 3√z 2  -  ( 1 / 3 ,a )


     3 次 方 程 式 の     x 1  x 2 x 3   公 式 を 導 出  完 了


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        展 開 式 の 中 で 分かり にくい  と こ ろ  行 間 説 明  を 加 えました

                展 開 式  と 対 比 し て 見 る  と 参 考 に なるか と 思 います


          私 は 、 こ の 3 次 方程式解 の 公 式 の 導 出 をする 展 開 式 を 初めて 読 ん だ とき、

          演 算 的 に 、機 械 的 に 追 い かける ことは 、 できた のですが
,、  

        変 数 変 換 を 繰 り 返 し たり 、3 次 方程式 を 2 次 方程式 に 化 け さ せ たり 、すると 等

          沢 山 、理 解 、納 得 できない ところが ありました     欲 求 不 満  に なりました


          3ケ月ほど、根 気 よ く 挑 戦 していたら 、全 貌 が ほ ぼ 、理 解 、納 得 できました


            私 が 、苦 労 し た ところ を  行 間 説 明  と し て 加 え ま し た の で

            前 記   3 次方程式 公 式 導 出 展 開 式  


                      対 比  し て 参 考 に し て く だ さ い


  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・



                      D = 01 の D は Dificalt ( 難 し い 難 解 ) の 頭 文 字

        D = 01    x  =  y - (1 / 3 ) a  と  変 数 変 換 す る こ と  つずいて 

                    y  =  u + v     と  変 数 変 換  す る こ と


    3 次 方程式 の 解 の 公 式 を 導 出 する 展 開 式 に 、のめり 込んで 3 ケ 月 ほ ど 挑 戦 しつずけたら。

                   ほ ぼ 、全 貌 が つ か め ま し た

           し か し  何 故   、x  =  y - (1 / 3 ) a      y  =  u + v   

        2 段 が ま え  変 数 変 換 す る か は 理 解 で き ず に  残 つ て 。 し ま い ま し た


       75 才 で 3 次 方程式 の 解 の 公 式 挑 戦 して から 10 年 以 上 追 い か け 続 け て き ま し た

                   今、88 才  米 寿 で す

        3 次 方程式 の 解 の 公 式 の 発 見 者 カルダノ ( 実 は フォンタナ ) の 気 持 ち に な つ て

       何 故 、 x = y - ( 1 / 3) a  y = u + v  と 変 数 変 換 したのか 、憶 測推 測  してみました


        な ん と 、憶 測  推 測 に 成 功 しました  飛 び 上 が る ような 喜 び を 感 じ ま し た 
   
                      以 下 、 詳 し く 説 明 し ま す

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        D = 02    x  =  y - (1 / 3 ) a   と  変 数 変 換  す る 理 由


      次方程式 は 次方程式 の 延 長 上 に あるので 、 次方程式 の 解 の 公 式 が 参 考 になると思い

              2 次方程式 の 復 習 を しました

              a x 2 + b x + c = 0

              ( x + ( b / 2 a ) ) 2 - ( b 2 / 4 a 2 ) + c / a = 0

              ( x + ( b / 2 a ) ) 2 = ( ( b 2 / 4 a 2) - ( c / a ) )      平 方 完 成 の 式

              ( 一 次 方 程 式 ) 2 = ( 定 数 )             平 方 完 成 の 式

                    x = ( b / 2 a ) ±√ ( ( b 2 / 4 a 2 ) - c / a )


                      = ( - b ± √ ( b 2 = 4 a c ) ) / 2 a  =   α 、β

             と 係 数 の 関 係   α + β = - b / a      α × β =  c / a


        このように 、2 次方程式 の 解 を求めるのに 平 方 完 成 の 式 ( 一 次 方 程 式 ) 2 = ( 定 数 ) に

                      次方程式 の 式 を 変 形 しております


             ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆


           そ こ で 、  3 次方程式 の 発 見 者   フォンタナ , カルダノ は


             次 方 程 式        x 3 + a x 2 + b x + c = 0  

            立 方 完 成 の 式        ( 一 次 方 程 式 ) 3 = ( 定 数 ) に

     変 形 し て 、 この 両 辺 の 立方根 を 求めれば   次方程式 の 解  x 1   x 2  x 3

        の 一 つ  x 1 は 求 め ら れ る と 考 え た   と  憶 測推 測  し ま し た


        し か し 、 x  =  y - (1 / 3 ) a   と 変 数 変 換 した だけでは 立 方 完 成 の 式 

                     変 形 で き ま せ ん

        次 の      y  =  u + v   と  変 数 変 換 す る 必 要   あ り ま す  


  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


         D = 03    y  = u + v   の  変 数 変 換 の 展 開 式 に お い て


         ( u 3 + 3 u 2 v + 3 u v 2 + v 3 )  +  3 p ( u + v )  +  2 q  =  0

                 ( u 3 + v 3 + 2 q )  +  ( u 3 v 3 + p 3 )  =  0


             こ の 2 式 が 等 値 で あること の 説 明  ( 2021 12 06  追 記 )


         こ こ で も 数 学 記 号 等 式  〓  イコール  が 便 利 に 使 わ れ て い ま す


                  ( u 3 + v 3 + 2 q ) + ( 3 u 2 v + 3 u v 2 ) + 3 p ( u + v ) = 0

                  ( u 3 + v 3 + 2 q ) + 3 u v ( u + v ) + 3 p ( u + v ) = 0

                  ( u 3 + v 3 + 2 q ) + ( 3 ( u v + p ) + ( u + v ) ) = 0

               こ の 等 式 は   (  0  )  +   (  0  )  =  0    で 成立する

                    す な わ ち   ( u 3 + v 3 + 2 q ) = 0    

                       3 ( ( u v + p ) + ( u + v ) ) = 0

                            ( u v + p ) + ( u + v ) = 0
 
     1 項 が ゼ ロ  u v + p = 0  2 項 も ゼ ロ  ( u + v ) = 0 = y で 成 立 す る が

     2 項 も ゼ ロ で は 3次方程式 が なくなつて しまうので u v + p = 0 が 残 ろ

          u v = - p   両 辺 を 3 乗 して  u 3 v 3 = - p3 と な る


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         D = 04    y  = u + v   と  変 数 変 換  す る 理 由


=      こ の 変 換 は  u 3 、 v 3  の 次 連 立 方程式  u 3 + v 3  =  - 2 q

                                        u 3 . v 3   =  - p 3


                を 作 り 更 に  u 3 、 v 3  を 解 と す る2


            3 次 方 程 式  を  等 価 的 な 2 次 方 程 式  に  化 け さ せ る


                      z 2 - 2 q z - p 3  =  0

             こ の 、 z 2 次方程式 の  解      z 1 = q + √( q 2 + p 3 )

                                z 2 = q - √( q 2 + p 3 )


              従 つ て 、     u 3 = z 1    v 3 = z 2  

             立 方 完 成 の 式  に 変 形 変 形 す る こ と が で き ま し た


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        D = 05    y = u + v  の 変 数 変 換 の 展 開 式 に お い て


                 一つ の 、方 程 式 を 、二つ の 、方 程 式 に 分 解 す る こ と


               ( u 3 + v 3 + 2 q )  +  ( u 3 v 3 + p 3 )  =  0


             ( u 3 + v 3 + 2 q ) = 0        u 3 + v 3  =  - 2 q

                               連 立 方程式

             ( u 3 v 3 + p 3 )   = 0        u 3 . v 3   =  - p 3


          こ れ は 、 数 学 記 号   =  等 号 イコール の 果 た せ る 役 割 で す

        左 辺 の 内 容 と 右 辺 の 内 容 が 等 し け れ ば =  等 号 イコール で 結 べ ま す


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        D 06    y = u + v  の 変 数 変 換 の 展 開 式 に お い て


         u 3  と  v 3  の  3 次 連立方程式 よ り  u 3  と  v 3  を 解 と す る


            3 次 方 程 式  を  等 価 的 な 2 次 方 程 式  に  化 け さ せ る  


                    u 3 + v 3  =  - 2 q

                                          連 立 方程式

                    u 3 . v 3   =  - p 3


                     z 2 - 2 q z - p 3  =  0


         こ の 、 3 次 方 程 式  から  等 価 的 な 2 次 方 程 式 を 導 出 する なんて こ と

            ど う し て も   理 解  納 得  できませんでした     


   しかたなく Yahoo インターネツト の 物 理 の カギシツ尾 の 掲示板 に問 い 合わせ しました

           翌 日 メール で  レスポンス あ り 回 答 を いただき ました


        参 考 ま で に 物 理 の カギ シツ尾 の 掲示板  と の や り ち り を 載 せ て おきます


             


      な ん と  2 次 方 程 式 の   解 と 係 数 の 関 係  を  ご 存 じ か  と  か わ さ れ ました


              と 係 数 の 関 係     α +  β = - b / a      

                                α × β =  c / a


                 α = u 3      β = v 3    と す れ ば 


          2 次 方 程 式 の   解 と 係 数 の 関 係   全 く  同 形  と な り ま す          


                大 き な 落 と し 穴 に 落 ち て お り ま し た


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        D = 07   y = u + v   の 変 数 変 換 の 展 開 式 に お い て


                     u 3 = z 1     u 3 - z 1 = 0

                     v 3 = z 2     v 3 - z 2 = 0

       u の  次方程式 と  v の  次方程式 の 解 を 求 め る く だ り が 現 れ ま し た

       ま だ 、 次方程式 の 公 式 を 勉 強 中 に 次方程式 の 公 式 の 解 を求 め よ と 言 わ れ て も

                困 つ た こ と に な り ま し た

            と こ ろ が 、      幸 い な こ と に 簡 単 な 3 次方程式 の  

               因 数 分 解  す る こ と  に よ つ て  求 め る こ と が で き る


                   u 3 = z 1     u 3 - z 1 = 0

            解 を    u 1  .   u 2  .   u 3    と す る


     解 の 一 つ  u 1    u 3 = z 1 の 両 辺 の 立 方 根  3√u 3 = 3√z 1 .

      求 め る ことが で き る 他 の 二つ   u 2  .  u 3   因 数 分 解 に よつて求 め る



         分 か り 安 く するために   簡 単 な  次方程式 の  を 揚 げ て お き ま す 


                   x 3  =  1        x 3  -  1   =  0

                    x 3  =  a 3      x 3  -   a 3  =  0
x
               解  を     x 1     x 2     x 3    と す る


                     x 3  =  1        x 3  -  1   =  0

       解 の 一つ  x 1    x 3  =  1 の 両 辺 の 立 方 根  3√x 3 = 3√ 1= 1 

                      求 め ら れ ま し た

       他 の 二 つ  x 2  、 .x 3    x 3  -  1  =  0  を 因 数 分 解 に よつて 求 め る


               ( x 3  -  1 ) / ( x  -  1 )  =  x 3  +  x  +  1  =  0

                           x 1 =  1

                           x 2 =  ( - 1 + i √3 ) / 2

                           x 3 =  ( - 1 - i √3 ) / 2


             x 3  =  a 3   x 3  -  a 3  =  0  も 同 様 に 求 め る こ と が で き ま す


                           x 1 =  a

                           x 2  =  ( ( - 1 + i √3 ) / 2 ) a

                           x 3   =  ( ( - 1 - i √3 ) / 2 ) a


                以 上 、           の 説 明 お わ り ま す


               ここで  u 3 = z 1     u 3 - z 1 = 0

                      v 3 = z 2     v 3 - z 2 = 0

               x 3  =  a 3     x 3  -  a 3  =  0   と  同 形 な の で

           x  の 代 わ り に u   v     a  の 代 わ り に  3z1   3z2  を

                         代 入 す れ ば よ い 以 上  
      展 開 式 の 中 で  分かり にくい  と こ ろ 行 間 説 明  完 了    


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            お 遊 び数 学   Welcom to My Homepage  


      お 遊 び の 数 学 を 30 年 も 続 け て い た ら ホーム ページ が 沢 山 た ま り ま し た

                   開 い て   一 瞥 し て み て く だ さ い


                お 遊 び の 数 学  タイトル   目 次


       ピタゴラス の 定 理 フィポナツチ 数 列  黄 金 比  円 筒 に 接つする 円 錐  表 面 積 と 体 積


       数 学 の 公 式 で 面 白 い 関 係 を 発 見   論 証 問 題   因 数 分 解 の 公 式   数 学 関 数 について


       三 次 方 程 式 の 解 の 公 式   四次方程式   三次方程式 の お 勉 強   一次、二次、三次 方程式 の 解


       特殊関数 ガンマ Γ 関 数    ベツセル 関 数   ベータ 関 数   信頼性 確率密度 関数   e x  の 微 分


       フェルマー の 最終定理   パスカル の 三角形 ( 二項定理 )   自然対数 e の 計 算   暗 算 問題


       ガ ウ ス   21 世紀 の 数 学 七 大 難 問   ギリシャ の 三 大 難 問   関 数 。級 数と グラフ 図 形


       マツスウエル の 方程式   数 学 教 室 ( 小 中 高 一般 )   整 数 問 題 の 勉 強   牛 乳 パツク の 秘 密


       ガ ロ ア 理 論   直線上 の 2 点 A B 間 の 長 さ  お 遊 び 数 学  そ の 2   数 学 最 つとも 美 し い 公 式


       不可能 方程式   積 分面 積 を 求 め る  シュデインガー 方 程 式  ブール 代 数   A B C 予 想


       中学生 にも 分 か る 3次方程式 の 解 の 公 式   2021 開 成 高 校 入 試 数 学


                  数学の公式 不思議 な 関 係


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             い ろ ん な グ ラ フ を 書 い て 楽 し ん で お り ま す


                 ど ん な 計 算  を し た か 想 像 し て 見 て く だ さ い


         


                     2021 開 成 高 校 入 試  数 学


              新 聞 を 見 た 時 は 解 け そ う も な い と 思 つ て い た こ の 問 題 が

             何 日 か 後  の 中 で 正 解 が 得 ら れ て お り ま し た     奇 蹟


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          を 見 る と き   は     読 売 新 聞 記 事  2021 11 14


            When  Brains Dream         気つき もたらす 創 造 性



             著 者   アントニオ ザドラ          モントリオール 大 教 授 心 理 学

                     ロバート スチツクゴールド   ハードバード 大 教 授 精 神 医 学

                  中 島 隆 博  東 京 大 教 授 哲 学 者



      に 興 味 を 持 つ て い た の で こ の 記 事 が 目 に 止 ま り ま し た


     


      ◆    著 者 達 は   【 睡 眠 に 依 存 す る 記 憶 処 理 一 形 式 】 だ と し て

                       【 NEXT UP 】 と い う モ デ ル を 提 案 し て い る


                    すなわち、可 能 性 理 解 のための  ネットワーク 探 索 と いう もの


      ◆    休息時 の 脳 は なにもしていないのではなく マインドワンダリング とりとめのない 思 考 状 態

                 にあり、活 発 に 動 いている のである

.....     ◆    ドリーム ・ .インキュベーション


       ◆    イメージ・リハーサル 療 法


  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


                   A B C  予 想

       


             

               A B C 予 想 の 不 等 式    C  < K ・ d ( 1 + ε )

         C > d  の 時でも 成立する ため の ε と K の 条 件 を 手 計 算 して

                        グラフ を 書 い て みました


  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


                     放 物 線  と  直 線


                

                          内 接 3 角 形


              



          

                         内 接 角 形  の  面 積


  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


              


                    の 表 面 積 2 重 積 分 で 求 め る


                   初 め て 2 重 積 分 を 体 験 し て み ま し た



             



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              後 書 き


                        遊 び数 学  

             中学生 にも 分かる 3次方程式 の 公 式



         と いう タイトル で 小 冊 子 を 自 主 出 版 して みよう と 思 い

                     原 稿 の 下 書 き を して み ま し た


          初 め て  を 書 く こ と に 挑 戦 して みました が 読 み 返 し て みると

                     む ず か し い も の だ と 感 じ ま し た

          前 置 き を はじめ 全 体 的 に 自 己 主 張 型 に なつている こ と 反 省 して おります



          読 者 の 皆 さ ん に 楽 し ん で いただければ 幸 い で す


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                 著  者


               三 輪 次 男   工 学 士  東 北 大 学 電 気 工 学 科  ( S 3 1 年 卒 )


                   群 馬 県 前 橋 市    昭 和 8 年 5 月 29 日  生



            元  安 立 電 波 工 業 ( 株 )  


               船 舶 用  レ ーダ ー  設 計 に  従 事 

               会 社 よ り 派 遣  日 本 水 産 の 捕 鯨 船 団  ( 第 2 図 南 丸 ) に

               無 線 機 保 守 技 術 員 と し て 随 行 貴 重 な 体 験 を し ま し た



            元  自 動 車 電 機 工 業 ( 株 )  信 頼 性 管 理 部 長  製 品 開 発 部 門



      


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