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参 考 資 料 ２ 次 方 程 式 解 の 公 式 解 と 係 数 の 関 係
解 と 係 数 の 関 係 の 証 明
x 3 + a x 2 + b x + c = 0 ( 1 ) 三 次 方 程 式 の 解 の 公 式 Yahoo より
三次方程式 は (1) 式 の ような 形 になる 。 係 数 が 何 であれ 解 が 求まる 公 式 は 、
16 世 紀 までに フェロ 、フォンタナ （ タルタリア ） 、 カルダノ といった 数 学 者 ら によ り 発 見 された。
まず 、 三次方程式 を 簡 単 にするため ( 2 ) 式 のよう 置 き 、変 換 した 三次方程式 ( 3 ) を 作 る。
この 解 （ y ） が 求まれば 、 ( 2 ） 式 によって 元 の x も 求まる 仕 組 み だ。
( 2 ) 式 を ( 1 ) の 元 の 方程式 に 代入して 、機 械 的 に 展 開 する ( 2.2 ) 。
また 機 械 的 に y の 次 数 によって 整 列 する ( 2.3 ) 。
さらに 整 理 すると ( 2.4 ) 、 ( 3 ) が 得られる 。 ( 3 ) の 係 数 p と q は 元 の 方程式 ( 1 ) の 係 数 a 、 b 、 c から
具 体 的 な 値 が 分かるので、 これを 使って 解 く。
結 局 、 ( 2 ) の 変 換 は 、 2次 の 係 数 がうまく ゼロ に なるように 仕 組 まれていたものと 言 え る。
変 数 変 換 x = y - ( a / 3 ) ( 2 )
( y - a / 3 ) 3 + a ( y - a / 3) 2 + b ( y - a / 3 ) + c = 0
( ( y 3 - 3 y 2 ( a / 3 ) + 3 y ( a / 3) 2 - ( a / 3 ) 3 ) +
a ( y 2 - 2 y ( a / 3) + ( a / 3 ) 3 ) ) + b ( y - a / 3 ) ) + c = 0 ( 2 ・ 2 )
ｙ 3 + ( -3 ( a / 3 ) +) y + ( c - ) = 0
y 3 + 3 p y + 2 q = 0 p = q =
更 に 変 数 変 換 y = u + v
( u + v ) 3 + 3 p ( u + v ) + 2 q = 0
( u 3 + 3 u 2 v + 3 u v 2 + v 3 ) + 3 p ( u + v ) + 2 q = 0
( u 3 + v 3 + 2 q ) + ( u 3 × v 3 + p 3 ) = 0
u 3 + v 3 + 2 q = 0 u 3 ×v 3 + p 3 = 0
z 2 - 2 q z - p 3 = 0
z 1 = q + √ ( q 2 + p 3 ) z 2 = q - √ ( q 2 + p 3 )
u 3 = z 1 v 3 = z 2
u 1 = ( 3 √ z 1)
u 2 = ( - 1 + i √3 ) / 2) ( 3 √ z 1 )
u 3 = ( - 1 - i √3 ) / 2) ( 3 √ z 1 )
v 1 = ( 3 √ z 2 )
v 2 = ( ( - 1 + i √3 ) / 2 ) ( 3 √ z 2 ) )
v 3 = ( ( - 1 - i √3 ) / 2 ) ( 3 √ z 2 ) )
y = u + v
u 1 + v 1 u 1 + v 2 u 1 + v 3
u 2 + v 1 u 2 + v 2 u 2 + v 3
u 3 + v 1 u 3 + v 2 u 3 + v 3
y 1 = u 1 + v 1 = ( 3 √ z 1) + ( 3 √ z 2 )
y 2 = u 2 + v 3 = ( - 1 + i √3 ) / 2) ( 3 √ z 1 ) ＋ ( ( - 1 + i √3 ) / 2 ) ( 3 √ z 1 ) )
y 3 = u 3 + v 2 = ( - 1 - i √3 ) / 2) ( 3 √ z 1 ) ＋ ( ( - 1 + i √3 ) / 2 ) ( 3 √ z 2 ) )
x = y - a / 3
X1 = y 1 - ( a / 3 ) = 【 u 1 + v 1 】 - ( a / 3 ) == 【 ( 3 √ z 1 ) + ( 3 √ z 2 ) 】 - ( a / 3 )
X2 = 省 略
X3 = 省 略
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X1 ＝ u1 + v1 - a / 3 ＝ω1× (ξ1)1/3 + ω1× (ξ2)1/3 - a / 3 p ＝ b/3 - a2/9
＝ 1× [ - q + √( q2 + p3 ) ] 1/3 + 1×[ - q - √( q2 + p3 ) ] 1/3 - a / 3 q ＝ c/2 + a3/27 -a.b/6
＝(27c+2a3-9ab)/54
＝【-(27c+2a3-9ab)+《〈(27c+2a3-9ab)/54〉2+〈(3b-a2)/9〉3》1/2】1/3
+【-(27c+2a3-9ab)-《〈(27c+2a3-9ab)/54〉2+〈(3b-a2)/9〉3 》1/2 】1/3 - a/3
X2 ＝ u2 + v3 - a/3 ＝ω2×(ξ1)1/3+ω3×(ξ2)1/3 - a/3
＝(-1+ i √3)/2 ×【-(27c+2 a3 -9ab)/54+《〈(27c+2a3-9ab)/54〉2+〈(3b-a2)/9〉3》1/2】1/3
+ (-1-i √3)/2 ×【-(27c+2a3-9ab)-《〈(27c+2a3-9ab)/54〉2+〈(3b-a2)/9〉3 》1/2 】1/3 - a/3
X3 省 略
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